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Der Normalisator ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie.

• Definition

• Eigenschaften

• Beispiel

• Verwandte Begriffe

• Einzelnachweise

Es seien G {\displaystyle G} eine Gruppe und U {\displaystyle U} eine nichtleere Teilmenge von G {\displaystyle G} . Der Normalisator von U {\displaystyle U} in G {\displaystyle G} ist definiert als

N G ( U ) := { g ∈ ∈ G ∣ ∣ g U g − − 1 = U } {\displaystyle N_{G}(U):=\left\{g\in G\mid gUg^{-1}=U\right\}} .

Dabei ist g U g − − 1 = { g u g − − 1 ∣ ∣ u ∈ ∈ U } {\displaystyle gUg^{-1}=\left\{gug^{-1}\mid u\in U\right\}} , entsprechend der Definition des Komplexproduktes.cite-ref-meyberg186-1-0[1]cite-ref-robinson-2-0[2]

Mit anderen Worten: Der Normalisator N G ( U ) {\displaystyle N_{G}(U)} besteht aus denjenigen g ∈ ∈ G {\displaystyle g\in G} , für die gilt, dass U {\displaystyle U} unter Konjugation mit g {\displaystyle g} invariant ist. (Man sagt, dass diese Elemente U {\displaystyle U} normalisieren.)

Man beachte, dass lediglich gefordert wird, dass U {\displaystyle U} als Ganzes festbleibt, im Allgemeinen gilt also für einzelne Elemente u ∈ ∈ U {\displaystyle u\in U} und g ∈ ∈ N G ( U ) {\displaystyle g\in N_{G}(U)} durchaus g u g − − 1 ≠ ≠ u {\displaystyle gug^{-1}\neq u} ; es gilt aber stets g u g − − 1 ∈ ∈ U {\displaystyle gug^{-1}\in U} .

• Der Normalisator ist eine Untergruppe von G {\displaystyle G} .cite-ref-meyberg187-3-0[3]

• Der Index des Normalisators N G ( U ) {\displaystyle N_{G}(U)} liefert die Anzahl der unterschiedlichen Konjugierten g U g − − 1 {\displaystyle gUg^{-1}} der Menge U {\displaystyle U} , d. h. | { g U g − − 1 ∣ ∣ g ∈ ∈ G } | = [ G : N G ( U ) ] {\displaystyle |\{gUg^{-1}\mid g\in G\}|=[G:N_{G}(U)]} .

• Eine Untergruppe U {\displaystyle U} ist stets Normalteiler in ihrem Normalisator N G ( U ) {\displaystyle N_{G}(U)} .cite-ref-meyberg187-3-1[3] Genauer: N G ( U ) {\displaystyle N_{G}(U)} ist die bezüglich Inklusion größte Untergruppe von G {\displaystyle G} , in der U {\displaystyle U} Normalteiler ist.

• Eine Untergruppe ist genau dann Normalteiler in G {\displaystyle G} , wenn ihr Normalisator ganz G {\displaystyle G} ist.cite-ref-meyberg187-3-2[3]

• Man kann den Normalisator auch wie folgt einführen: Sei G {\displaystyle G} eine Gruppe. Man lasse G {\displaystyle G} auf der Potenzmenge von G {\displaystyle G} durch Konjugation operieren. Dann ist der Stabilisator dieser Operation für eine gegebene Teilmenge von G {\displaystyle G} gerade der Normalisator dieser Teilmenge.

Es sei G {\displaystyle G} die Gruppe der invertierbaren n × n {\displaystyle n\times n} -Matrizen (mit reellen Einträgen) für eine natürliche Zahl n {\displaystyle n} . Weiter sei U {\displaystyle U} die Untergruppe der Diagonalmatrizen. Dann ist der Normalisator von U {\displaystyle U} in G {\displaystyle G} die Gruppe der Matrizen, bei denen in jeder Zeile und in jeder Spalte genau ein Eintrag ungleich null ist. Der Quotient N G ( U ) / U {\displaystyle N_{G}(U)/U} ist isomorph zur symmetrischen Gruppe S n {\displaystyle S_{n}} .cite-ref-procesi-4-0[4]

Fordert man, dass U {\displaystyle U} elementweise invariant unter der Konjugation mit Gruppenelementen ist, erhält man den stärkeren Begriff des Zentralisators Z G ( U ) {\displaystyle Z_{G}(U)} . Der Zentralisator ist ein Normalteiler im jeweiligen Normalisator.cite-ref-robinson-2-1[2]

cite-note-meyberg186-11. ↑ Kurt Meyberg: Algebra Teil 1. Karl Hanser Verlag, 1980, ISBN 3-446-13079-9, S. 52, Definition 1.8.6.

cite-note-robinson-22. ↑ Derek J. S. Robinson: A Course in the Theory of Groups. Springer, 1996, ISBN 1-4612-6443-X, S. 38 (englisch).

cite-note-meyberg187-33. ↑ Kurt Meyberg: Algebra Teil 1. Karl Hanser Verlag, 1980, ISBN 3-446-13079-9, S. 53, Satz 1.8.7.

cite-note-procesi-44. ↑ Claudio Procesi: Lie Groups. An Approach through Invariants and Representations. Springer, 2007, ISBN 978-0-387-26040-2, S. 218, Kap. 4.8 Representations of Linearly Reductive Groups (englisch).